肌肉驱动的下肢关节与步态

本页不依赖 ROS，全部指标由 python3 main.py bench 在 Ubuntu 22.04.5 + Python 3.10 + MuJoCo 3.16.0 下复现。

本页用一个模块串起六级递进实验：单条肌肉 → 拮抗肌对 → 共激活刚度 → 双关节耦合 → 负重站立 → 原地踏步。与仓库已有模块的关系是：

已有模块	本模块的差异
肌肉驱动的关节控制	那个是 1 自由度、纯 Python、不负重；本模块有 MuJoCo 刚体动力学、多关节、承重
MuJoCo 肌肉骨骼灵巧手	那个是手，不负重；本模块是腿，要撑住体重
MuJoCo 肌肉骨骼人键盘遥操作	那个是整机 13 自由度行走/踢腿/蹲起；本模块是分级验证平台，L4 专门分析双关节肌耦合
人形机器人系列（电机驱动）	那些用理想力矩源；本模块控制量是激活度 $a \in [0,1]$，可作对照

1 为什么是肌肉，而不是电机

电机可以直接给力矩，可正可负；肌肉只能收缩，控制量是激活度，且出力随长度与速度变化。这带来三个电机模型里不存在的现象：

反向运动必须靠拮抗肌：一块肌肉只能拉，不能推；
力会饱和：能出的力矩随构型与速度变化，不是常数；
共激活可调刚度：同样的关节角，可以用"低激活、软"或"高激活、硬"实现。

前两条让控制变难，第三条是肌肉相对电机的独特价值——也是本模块 L3 要量化的东西。

2 模型与实现

2.1 分工

MuJoCo 只负责刚体动力学、关节限位与地面接触；肌肉模型用 Python 实现，肌力经 qfrc_applied 施加。这样肌肉部分完全可单元测试，也避免依赖 MuJoCo 内置 muscle 执行器的归一化细节（其 lengthrange 与缠绕腱配合时会把力推到非物理区间）。

2.2 Hill 肌肉模型

$F = F_{max}\left[a\, f_l(\tilde l)\, f_v(\tilde v) + f_p(\tilde l)\right], \qquad f_l(\tilde l)=\exp\!\left[-\left(\frac{\tilde l-1}{0.45}\right)^2\right]$

$f_v(\tilde v)=\begin{cases} \dfrac{0.3125}{\tilde v+0.25}-0.25, & \tilde v \ge 0 \quad\text{（缩短）}\\[2mm] 1+\dfrac{0.4x}{0.25+x},\ x=\min(1,-\tilde v), & \tilde v<0 \quad\text{（拉长）} \end{cases}$

激活动力学为一阶滞后，且激活快于放松：

$\dot a = \frac{u-a}{\tau},\qquad \tau=\begin{cases}\tau_{act}=0.01\,\text{s}, & u>a\\ \tau_{deact}=0.04\,\text{s}, & u\le a\end{cases}$

被动力只在 $\tilde l>1$ 时出现，是下降段唯一的稳定来源（见 3.3 节）。

2.3 单关节阶段的肌肉几何

单关节用解析矩臂，肌肉长度与关节角线性相关，便于手算复核：

$l_{flex}=L_0-r\theta,\qquad l_{ext}=L_0+r\theta,\qquad \tau = r\,(F_{flex}-F_{ext})$

于是关节刚度有闭式解，可与数值结果逐项对照：

$k=-\frac{\partial \tau}{\partial \theta} = r^2\left(\frac{\partial F_{flex}}{\partial l}+\frac{\partial F_{ext}}{\partial l}\right)$

3 六级实验

3.1 L1 单条肌肉：能不能驱动关节

激活在 0.4 s 从 0.05 跳到 0.30、1.0 s 撤回 0.05。腿被拉起后靠重力自然落回。

指标	数值
峰值关节角	0.828 rad
终止角	0.190 rad
峰值肌力	32.2 N

L1 单肌肉

3.2 L2 拮抗肌对 + PD：能不能控到目标

期望力矩按符号分配给屈/伸肌，对侧维持 0.02 共激活。

目标 (rad)	末态 (rad)	峰值激活
0.00	0.036	0.11
+0.30	0.277	0.75
−0.30	−0.220	0.75

纯 PD 有稳态 droop（末态残差 0.036 / 0.023 / 0.08 rad，即 0.02–0.08 rad），加积分或重力前馈可进一步收敛。

L2 PD 跟踪

3.3 L3 共激活：肌肉到底多出了什么

固定激活度、零速度，直接对 $\tau(\theta)$ 求导得到刚度（准静态，避开动力学瞬态）：

共激活	上升段 k (N·m/rad)	下降段 k (N·m/rad)
0.02	0.011	0.327
0.10	0.053	0.265
0.20	0.106	0.188
0.40	0.212	0.033

数值解与解析式在四位小数上完全一致。结论：

上升段（$l_{opt}>l_0$）：共激活越大，刚度越大，但能耗与稳态误差同步上升；
下降段（$l_{opt}<l_0$）：共激活反而降低刚度，稳定性完全依靠被动力。

所以"共激活提高刚度"这句话只在上升段成立——这是本模块最重要的一条结论。

L3 刚度随共激活

3.4 L4 双关节肌：按关节分配为什么会失效

加入跨髋膝的腘绳肌（同时伸髋、屈膝），并让它成为唯一的屈膝肌。任务：髋保持 0，膝屈曲到 0.9 rad。

模型	髋峰值误差 (rad)	激活代价
A 单关节版（纯屈膝肌，解剖上不存在）	0.120	0.012
B 双关节版 + 朴素分配	0.331	0.012
C 双关节版 + 联合 QP	0.204	0.023

朴素分配把屈膝的力矩串到了髋上，误差是联合求解的 1.6 倍；联合 QP 用髋屈肌抵消耦合，代价是激活增加约一倍。这就是双关节肌的代价，也是电机模型里看不到的问题。

L4 髋峰值误差对比

3.5 L5 单腿负重站立

骨盆挂在两个滑轨上（水平允许屈膝时后移、竖直承重），相当于体重支撑架。 100% 重力，微蹲姿态：

指标	数值
骨盆高度	−0.015 ± 0.000 m
膝关节角	0.21 rad
末态激活	0.236

注意：必须做重力前馈（qfrc_bias），纯 PD 在稳态误差为零时输出为零，腿会直接塌到关节限位。

L5 负重站立

3.6 L6 双腿原地踏步

相位 1.2 s 一个周期，左右腿各摆动 0.6 s；35% 体重支撑。

指标	数值
骨盆高度	+0.007 ± 0.000 m
抬脚幅度	0.182 m
末态激活	0.372

重力前馈按每条腿自身子树计算（不再对双腿做均摊），因此 L6 的抬脚幅度与峰值激活与早期版本略有差异。

L6 原地踏步

4 复现

cd src/musculoskeletal/mujoco_muscle_leg_gait
python3 main.py check
python3 main.py bench --out out      # 复现 3.1-3.6 的全部数字
python3 main.py gif --out gif        # 复现本页动图
python3 -m unittest discover -s tests -v

gif 子命令需要图形环境。远程或无显示服务器时先设置 MUJOCO_GL=egl（或 osmesa），否则会报 an OpenGL platform library has not been loaded；bench 与单元测试不受影响。

5 已知限制

L6 不是自由行走：骨盆受滑轨约束、无躯干俯仰与重心转移控制，35% 重力是刻意简化。真正的双足行走需要自由基座 + 平衡控制器。
单关节用解析矩臂：真实肌肉的力臂由肌腱缠绕几何决定并随构型变化。
参数为缩放模型：总质量约 11 kg、F_max=600 N，不对应具体人体。
未接入 ROS 话题：launch 只是把 main.py 包成 ROS 2 启动入口，尚未发布关节状态或订阅外部指令。
未做 sim2real：全部结果来自 MuJoCo，未在实机或 AirSim/Unreal 中验证。

6 参考

A. V. Hill, The heat of shortening and the dynamic constants of muscle, 1938
F. E. Zajac, Muscle and tendon: properties, models, scaling, and application to biomechanics and motor control, 1989
D. G. Thelen, Adjustment of muscle mechanics model parameters to simulate dynamic contractions in older adults, 2003